Time and gravity — two sides of the same demon

 Fysiikan historiassa härskeimmät läpimurrot ovat syntyneet silloin kun kaksi erillistä ilmiötä on osoittautunut yhdeksi. Maxwell osoitti, että sähkö ja magnetismi ovat sama asia eri näkökulmista. Einstein osoitti, että massa ja energia ovat sama asia eri olomuodoissa. Kummassakin tapauksessa tarvittiin uusi matemaattinen kieli ennen kuin yhteys oli edes ajateltavissa.

Joten on luonnollista olettaa, että kaikkia ilmiöitä ei olla vielä osattu yhdistää. Seuraavaksi sitten tutkitaan yhtä kysymystä: onko gravitaatio ja aika sama asia?

Ei metaforan mielessä, tässä maailman ajassa ihan tarpeeksi kikkaillaan sanoilla ja vängätään termeistä sen sijaan, että puhuttaisiin asioista. Joten lähestytään tätä kuivan matemaattisessa mielessä.

Lähtöhavainto on yksinkertainen ja kiistaton: gravitaatio ja aika käyttäytyvät saumattomasti toistensa peilikuvina. Mitä voimakkaampi gravitaatio, sitä hitaammin aika kuluu. Mitä heikompi gravitaatio, sitä nopeammin aika kuluu. Suhde on tarkka, mitattavissa ja universaali. Annan yhden esimerkin ilmaiseksi heti alkuun: GPS-satelliitit korjataan sen takia päivittäin.

Ja yleinen suhteellisuusteoria kuvaa tämän ilmiön erinomaisesti. Mutta se ei selitä sitä. Se sanoo miten, ei miksi.

Tavallisessa tulkinnassa gravitaatio ja aika ovat kaksi erillistä suuretta jotka vaikuttavat toisiinsa. Tässä työssä esitetään vaihtoehtoinen postulaatti (eli kuten keski-ikäinen setämies sanoisi "väite"): Aika ja gravitaatio eivät ole kaksi erillistä suuretta jotka vaikuttavat toisiinsa, vaan saman perustavanlaatuisen rakenteen kaksi eri havaittavaa ilmentymää.

Jos postulaatti pitää paikkansa, siitä seuraa jotain merkittävää: gravitaatiota ei tarvitse selittää erillisenä voimana tai edes erillisenä kentänä. Riittää yksi primitiivinen olio ja sekä ajan kulku että gravitaation vaikutus johdetaan siitä.

Tämä ei ole valmis teoria. Se on tutkimusohjelma ja sitä saa rahoittaa, mielellään puhutaan miljoonista euroista, kun tukea tälle annetaan. Seuraavilla riveillä rakennetaan formalismi, testataan sen rajat, ja katsotaan kuinka pitkälle se kantaa.

 Ja koska kahvia ja tupakaa on tarpeeksi niin tehdään tästä oikea formalisaatioluonnos niin, että väite muuttuu testattavaksi.

1. Lähtöväite täsmällisessä muodossa

Sanallinen väite on seuraava: 

Gravitaatio ja aika eivät ole kaksi erillistä suuretta, jotka vaikuttavat toisiinsa, vaan saman perustavanlaatuisen suureen kaksi ilmentymää. 

Tätä ei kirjoiteta muodossa 'gravitaatio = aika', vaan täsmällisemmin: 

Postulaatti: On olemassa fundamentaali olio Γ (geometrinen tai dynaaminen), josta sekä proper time että gravitaatioilmiöt johdetaan eri havaittavina.

 Eli:

•         Γ = primitiivinen olio

•         aika = funktionaali τ[γ;Γ], missä γ on maailmaviiva

•         gravitaatio = toinen funktionaali G[Γ], esim. geodeettipoikkeama, kaarevuus tai efektiivinen potentiaali

 

Huom! Tämä on keskeinen korjaus: ei vaadita samaa yksikköä, vaan samaa lähdeoliota. Yksikkökysymys ratkeaa sillä, että fundamentaali objekti on geometrinen tai ulottuvuudeton.

 

2. Minimivaatimukset teorialle

Jotta formalisaatio olisi vakavasti otettava, sen täytyy tuottaa ainakin seuraavat tulokset:

 

A. Proper time

Havaitsijan oma aika pitää pystyä laskemaan maailmaviivaa pitkin:

τ = τ[γ;Γ]

B. Gravitaatiohavainto

Massiivisen kappaleen läheisyydessä kellot käyvät eri nopeudella, geodeesit kaartuvat, kappaleet putoavat.

C. Newtonin raja

Heikossa, hitaassa rajassa täytyy palautua likimain:

∇²Φ = 4πGρ

ja kellonopeudelle:

dτ ≈ dt(1 + Φ/c²)

D. Kovarianssi

Teorian on oltava koordinaattimuunnosten suhteen järkevä. Muuten siitä tulee epäfysikaalinen.

E. Lokaali erityinen suhteellisuusteoria

Pienessä vapaasti putoavassa ympäristössä on näytettävä Minkowskilta.

 

3. Kolme formalisaatiota

Malli 0: Metriikka fundamenttina (lähimpänä GR:ää)

Otetaan fundamentaaliseksi olioksi metriikka:

Γ ≡ gμν

 

Proper time maailmaviivaa γ pitkin:

dτ² = −(1/c²) gμν dxμ dxν

 

Gravitaatio ei ole erillinen kenttä, vaan sama gμν:iin liittyvä geodesinen rakenne ja kaarevuus:

Γμνρ(g) = (1/2) gμσ (∂ν gσρ + ∂ρ gσν − ∂σ gνρ)

 

Tulkinnassa: aika ja gravitaatio ovat saman metriikkarakenteen kaksi eri havaittavaa puolta.

 

Vedän henkeä ja totean: Matemaattisesti siisti. Mutta ei vielä uusi teoria — käytännössä GR:n ontologinen uudelleentulkinta. Paras ensimmäinen formalisaatio, koska tekee ideasta välittömästi laillista fysiikkaa.

 

Malli 1: Aikakenttä T(x) fundamenttina

On olemassa skalaari T(x), jota voi kutsua 'temporaaliseksi potentiaaliksi'. Paikallinen proper time ei ole vain metriikan seurausta, vaan sitä ohjaa kenttä T.

 

Fysikaalinen metriikka riippuu T:stä:

gμν(phys) = e^(2αT(x)) g̃μν

 

missä g̃μν on taustametriikka ja α on vakio. Proper time on tällöin:

dτ² = −(1/c²) e^(2αT(x)) g̃μν dxμ dxν

 

Heikossa rajassa:

e^(2αT) ≈ 1 + 2αT

Vertaamalla heikon kentän metriikkaan g₀₀ ≈ −(1 + 2Φ/c²) saadaan identifikaatio:

αT ≈ Φ/c²

 

Peiliinkatsomisen paikka: Oikea teoria-aihio. T-kenttä tuottaa sekä paikallisen kellonopeuden että gravitaatiopotentiaalin kaltaisen efektin. Muistuttaa kuitenkin nopeasti Brans–Dicke-tyyppisiä skalaari-tensoriteorioita.

 

Malli 2: Kenttäpari (gμν, T) — suositeltu tutkimusohjelma

Tämä on realistisin formalisaatio. Fundamentaali kenttäpari:

Γ = (gμν, T)

 

missä gμν kantaa kausaalisen geometrisen rakenteen ja T on temporaalinen skalaari, joka moduloi paikallista proper timea.

 

Viisi aksiooma

 

Aksiooma 1: Fundamentaali kenttäpari on Γ = (gμν, T).

Aksiooma 2: Fysikaalinen metriikka on ĝμν = e^(2αT) gμν.

Aksiooma 3: Kaikki aine kytkeytyy ĝμν:hen, ei suoraan gμν:hen.

Aksiooma 4: Proper time määrittyy ĝ:stä: dτ² = −(1/c²) ĝμν dxμ dxν.

Aksiooma 5: Toimintafunktio:

 

S[g, T, ψ] = ∫ d⁴x √(−g) [ R(g)/16πG − (β/2) gμν ∂μT ∂νT − V(T) ] + S_m[ĝ, ψ]

 

GR palautuu erikoistapauksessa T = vakio.

 

Fiilis tällä hetkellä: Tämä on testattavissa. Se ei kaadu ensimmäiseen mutkaan. Näyttää skalaari-tensoriteorialta, mutta se on tutkimusohjelman vahvuus, ei heikkous — antaa vertailukohdan kokeellisille testeille.

 

4. Seuraavat pakolliset laskut

Kun tätä kuitenkin halutaan viedä vielä pidemmälle, niin seuraavat laskut ovat pakollisia:

 

1. Kenttäyhtälöt

Vaihtelemalla toimintaa gμν:n ja T:n suhteen saadaan:

•         Einstein-tyyppinen yhtälö metriikalle

•         Klein–Gordon-tyyppinen yhtälö T:lle

2. Heikon kentän ratkaisu pallosymmetriassa

Oletus T = T(r). Tarkistetaan, antaako malli:

T(r) ~ −GM/rc²

3. Kellokokeet

Tarkistetaan ennuste gravitaatiopunasiirtymälle ja GPS-tyyppiselle kellokorjaukselle.

4. Valon taipuminen

Jos malli vaikuttaa vain g₀₀:aan eikä spatiaalisiin komponentteihin, se kuolee tähän.

5. Perihelipreessio

Klassinen kova testi — Merkuriuksen radan poikkeama Newtonin ennusteesta.

6. Gravitaatioaallot

Jos teoriassa ei synny oikeaa tensorista aaltoilua, se jää korkeintaan efektiiviseksi likimalliksi.

 

5. Tiivistetty formalisaatioluonnos

Kompaktisti kirjoitettuna tutkimusohjelman ydin on seuraava:

 

Fundamentaali postulaatti: Γ on perusolio, josta sekä proper time että gravitaatio johdetaan.

 

Minimimallin valinta:

Γ = (gμν, T)

 

Fysikaalinen metriikka:

ĝμν = e^(2αT) gμν

 

Aine kytkeytyy ĝμν:hen, joten proper time:

dτ² = −(1/c²) ĝμν dxμ dxν

 

Toimintafunktio:

S[g, T, ψ] = ∫ d⁴x √(−g) [ R(g)/16πG − (β/2) gμν ∂μT ∂νT − V(T) ] + S_m[ĝ, ψ]

 

Heikon kentän rajassa:

ĝ₀₀ ≈ −(1 + 2αT)

ja identifikaatiolla αT ≈ Φ/c² saadaan gravitaatioaikadilaatio luonnollisena seurauksena siitä, että gravitaatiopotentiaali ja kellonopeus ovat saman temporo-geometrisen rakenteen kaksi ilmentymää.

 

6. Lopullinen tunnelma, ei kovin huikea

Tämä on nyt ensimmäistä kertaa muodossa, jota voisi kutsua teoriarungoksi.

 Mutta:

•         Tämä ei vielä ole valmis teoria

•         Tämä ei vielä voita yleistä suhteellisuusteoriaa

•         eikä tämä vielä osoita, että 'gravitaatio on aikaa' 

Se osoittaa jotain vaatimattomampaa mutta oikeasti matemaattista: 

Houkutus rakentaa formalismi, jossa gravitaatio ja proper time syntyvät samasta primitiivisestä rakenteesta on suuri, koska  se on jo paljon parempi ja puolustettavampi väite. 

Ensi viikolla on tarkoitus johtaa kenttäyhtälöt eksplisiittisesti ja katsoa, mitä heikon kentän pallosymmetrinen ratkaisu antaa. Paradoksit eivät haittaa, Newton ja Einstein molemmat elivät paradoksien kanssa ennen kuin ratkaisu löytyi. Paradoksi on usein merkki siitä, että ollaan oikeassa paikassa. Ja jos jatkoa ei kuulu niin se johtuu siitä, että tämän kirotun hoitolaitoksen lääkärit eivät päästä minua enää koneelle vaan antavat taas koko viikon ajan sähköshokkeja ja ne tekevät aivoista puuroa ja saavat minut tuntemaan suurta fyysistä kuvotusta.